I. Droites orthogonales
Définition : (D₁) et (D₂) sont orthogonales (noté (D₁) ⊥ (D₂)) lorsqu'il existe deux droites perpendiculaires (L₁) et (L₂) telles que (D₁) ∥ (L₁) et (D₂) ∥ (L₂).
⚠️ Orthogonales ≠ perpendiculaires : deux droites perpendiculaires sont orthogonales
et sécantes. Dans l'espace, deux droites orthogonales peuvent être
non coplanaires (non sécantes).
- Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre ;
- Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre ;
- ⚠️ Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles (différence avec le plan).
II. Droite perpendiculaire à un plan
Définition : (D) ⊥ (P) lorsque (D) est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans (P).
Propriété fondamentale : si (D) ⊥ (P), alors (D) est orthogonale à toute droite incluse dans (P).
Méthode clé : pour prouver que deux droites sont orthogonales, montrer que l'une est perpendiculaire à un plan contenant l'autre.
Propriétés :
- Par un point donné passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné ;
- Par un point donné passe un unique plan perpendiculaire à une droite donnée ;
- Deux droites ∥ : tout plan ⊥ à l'une est ⊥ à l'autre ;
- Deux droites ⊥ à un même plan → elles sont parallèles ;
- Deux plans ∥ : toute droite ⊥ à l'un est ⊥ à l'autre ;
- Deux plans ⊥ à une même droite → ils sont parallèles.
III. Plans perpendiculaires
Définition : (P) ⊥ (Q) lorsque (P) contient une droite perpendiculaire à (Q) : (d) ⊂ (P) et (d) ⊥ (Q) ⟹ (P) ⊥ (Q).
Propriétés :
- Si (D) ⊥ (P), tout plan parallèle à (D) est perpendiculaire à (P) ;
- Si (P) ⊥ (Q), tout plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre ;
- Si (P) ⊥ (Q), toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre ;
- Un plan est perpendiculaire à deux plans sécants ⟺ il est perpendiculaire à leur droite d'intersection.
IV. Projections orthogonales
Projeté orthogonal d'un point A sur un plan (P) : point H, intersection de (P) avec l'unique droite passant par A et perpendiculaire à (P).
Distance du point A au plan (P) = AH ; c'est la plus courte distance : pour tout M ∈ (P), M ≠ H, AH < AM.
Projeté orthogonal d'un point B sur une droite (Δ) : point K, intersection de (Δ) avec l'unique plan passant par B et perpendiculaire à (Δ). Distance BK = distance de B à (Δ).
Images par projection orthogonale sur un plan (P) :
- Image d'une droite (D) : un singleton si (D) ⊥ (P) ; une droite sinon ;
- Image d'un segment [AB] : un singleton si (AB) ⊥ (P) ; un segment sinon ;
- Conservation du milieu : l'image du milieu de [AB] est le milieu de l'image de [AB] (si (AB) non ⊥ (P)).
⚠️ Pièges fréquents :
- Réserver « perpendiculaire » aux droites sécantes ; utiliser « orthogonales » sinon ;
- Pour (D) ⊥ (P), il faut deux droites sécantes de (P) — deux droites parallèles ne suffisent pas ;
- Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcément parallèles, mais deux droites perpendiculaires à un même plan le sont ;
- Dans un cube/tétraèdre, utiliser la droite des milieux et les diagonales des faces carrées pour transférer l'orthogonalité.
Créé par Haniel_dev