I. Vocabulaire des événements
Expérience aléatoire : expérience dont on ne connaît pas d'avance le résultat mais dont on connaît tous les résultats possibles.
Éventualité : chaque résultat possible. Univers (U ou Ω) : ensemble de toutes les éventualités.
Exemple : lancer de deux pièces → U = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}.
Événement : toute partie de l'univers U.
- Élémentaire : singleton {eᵢ} ;
- Impossible : ∅ ;
- Certain : U tout entier.
Correspondance ensembles ↔ probabilités :
| Ensembles | Probabilités |
|---|
| A ∩ B | « A et B » : eᵢ réalise A et B |
| A ∪ B | « A ou B » : eᵢ réalise A ou B |
| Ā (complémentaire) | événement contraire : A ∪ Ā = U et A ∩ Ā = ∅ |
| A ∩ B = ∅ | A et B incompatibles (disjoints) |
II. Probabilité d'un événement
Définition : une probabilité P sur U associe à chaque événement A un réel P(A) ∈ [0 ; 1] tel que :
- P(U) = 1
- Si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Propriétés :
- P(Ā) = 1 − P(A) ;
- P(∅) = 0 ;
- A = {e₁ ; … ; eₖ} → P(A) = P({e₁}) + … + P({eₖ}) ;
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (formule générale, même si A et B compatibles).
III. Équiprobabilité
Équiprobabilité : tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si card(U) = n, chaque éventualité a pour probabilité 1/n.
Formule fondamentale : en situation d'équiprobabilité,
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles = card(A) / card(U)
Mots-clés signalant l'équiprobabilité : « équitable », « équilibré », « parfait », « uniforme », « même chance », « indiscernable au toucher », « au hasard ».
IV. Lien avec le dénombrement
Méthode : quand l'univers est grand, on ne liste pas les cas — on utilise le
dénombrement (L4) :
- p-uplets (ordre, répétition) → tirages successifs avec remise, codes ;
- arrangements Anp (ordre, sans répétition) → tirages sans remise ordonnés ;
- combinaisons Cnp (sans ordre) → choix simultanés, délégations.
Exemple : délégation de 4 membres parmi 10 → card(U) = C₁₀⁴ = 210 ; délégations contenant un couple donné → C₈² = 28 → P = 28/210 = 2/15.
Astuce — événement contraire : quand le calcul direct demande plusieurs cas (« au moins un », « l'un ou l'autre »), passer par P(Ā) = 1 − P(A).
Exemple : « M. ou Mme dans la délégation » → contraire = « ni l'un ni l'autre » = C₈⁴/210 = 70/210 = 1/3 → P = 1 − 1/3 = 2/3.
⚠️ Pièges fréquents :
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n'est vraie que si A et B sont incompatibles — sinon retrancher P(A ∩ B) ;
- Toujours justifier l'équiprobabilité avant d'appliquer card(A)/card(U) ;
- Attention aux tirages sans remise : arrangements/combinaisons, pas de répétition ;
- Vérifier que la probabilité obtenue est bien dans [0 ; 1] et simplifier la fraction.
Créé par Haniel_dev