I. Inéquation du premier degré dans ℝ × ℝ
Forme : ax + by + c ≷ 0 (a, b, c non tous nuls) — deux inconnues x et y.
Un couple (x₀ ; y₀) est solution s'il vérifie l'inégalité : ax₀ + by₀ + c ≷ 0.
Attention : « = » → équation, pas inéquation ; et le terme x² l'exclut du premier degré.
Résolution graphique : l'ensemble des solutions est un
demi-plan de
frontière la droite (D) : ax + by + c = 0.
- Inégalité stricte (<, >) → demi-plan ouvert, la droite (D) est exclue (tracée en pointillés) ;
- Inégalité large (≤, ≥) → demi-plan fermé, (D) incluse ;
- Point-test : on vérifie si O(0 ; 0) (ou un point commode) satisfait l'inéquation → le demi-plan solution est celui qui le contient (ou l'autre).
II. Système d'inéquations
Au moins
deux inéquations aux deux mêmes inconnues.
Un couple est solution du système ⟺ il est solution de
chaque inéquation.
Résolution graphique :
- Tracer les droites-frontières (D₁), (D₂), … ;
- Déterminer le demi-plan solution de chaque inéquation (point-test) ;
- L'ensemble des solutions = intersection des demi-plans (zone commune, souvent hachurée).
III. Application : problèmes concrets
Méthode :
- Choisir les inconnues (ex. x = nombre de chemises, y = nombre de pantalons) ;
- Traduire les contraintes en inéquations (ex. x + 1,2y ≤ 10 ; y < x) ;
- Résoudre graphiquement puis retenir les couples entiers si le contexte l'exige (ℕ × ℕ) ;
- Optimiser selon le critère (ex. minimiser les déchets → couple qui consomme le plus de tissu, (5 ; 4) → 9,8 m sur 10 m).
⚠️ Pièges fréquents :
- Vérifier un couple solution : substituer dans toutes les inéquations, pas une seule ;
- Inégalité stricte → frontière exclue : les points de la droite ne sont pas solutions ;
- Le point-test O(0 ; 0) est inutilisable si O appartient à la frontière — choisir un autre point ;
- Ne pas hacher la zone solution au hasard : c'est l'intersection, pas la réunion ;
- Dans les problèmes réels : x, y entiers naturels → seuls les points à coordonnées entières de la zone comptent.
Créé par Haniel_dev