MATHS 1A L4 Derivabilite et etude de fonctions — Mathematiques Premiere A

I. Nombre dérivé

f est dérivable en a lorsque (C_f) admet au point A(a ; f(a)) une tangente non verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées).
Le nombre dérivé f′(a) = coefficient directeur de cette tangente (position limite de la sécante (AM) quand M → A).

II. Calculs de dérivées

f(x)	f′(x)
k (constante)	0
x	1
ax + b	a
x²	2x
x³	3x²
1/x	−1/x² (x ≠ 0)

Opérations :

(u + v)′ = u′ + v′ ; (ku)′ = ku′ ;
(uv)′ = u′v + uv′ ;
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v² ; (1/v)′ = −v′/v² (là où v ≠ 0).

III. Équation de la tangente

y = f′(a)(x − a) + f(a)

Cas particulier : si f′(a) = 0 → tangente horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

IV. Sens de variation

f′(x) ≥ 0 sur I → f croissante sur I ;
f′(x) ≤ 0 sur I → f décroissante sur I ;
f′(x) = 0 sur I → f constante.

Méthode : calculer f′(x) → étudier son signe (tableau de signe) → en déduire les intervalles de monotonie → dresser le tableau de variation (flèche qui monte = croissante, qui descend = décroissante).

V. Extremum relatif

Si f′ s'annule en x₀ et change de signe, alors f admet un extremum relatif en x₀ :

f′ passe de + à − → maximum relatif ;
f′ passe de − à + → minimum relatif.

Ex. : B(x) = −2x² + 60x − 400 → B′(x) = −4x + 60 = 0 en x = 15, signe + puis − → maximum B(15) = 50.

⚠️ Pièges fréquents :

f′(a) = 0 ne suffit pas : il faut un changement de signe pour un extremum ;
(1/x)′ = −1/x² : ne pas oublier le signe moins ;
(uv)′ ≠ u′v′ : c'est u′v + uv′ ;
Tangente verticale ⇒ la fonction n'est pas dérivable en ce point ;
Dans un problème concret, respecter le domaine (ex. production sur [0 ; 30], pas ℝ entier) ;
Toujours vérifier le tableau de variation avec les valeurs aux bornes.

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Créé par Haniel_dev

📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Nombre dérivé

II. Calculs de dérivées

III. Équation de la tangente

IV. Sens de variation

V. Extremum relatif