I. Compléments sur les ensembles
Cardinal : nombre d'éléments d'un ensemble fini E, noté Card(E).
Complémentaire de A dans E (noté Ā) : éléments de E n'appartenant pas à A.
Card(Ā) = Card(E) − Card(A).
II. Produit cartésien
A × B = ensemble des
couples (a, b) avec a ∈ A, b ∈ B.
L'
ordre compte : (a, b) ≠ (b, a). On peut l'obtenir par un
arbre de choix ou un tableau à double entrée.
Card(A × B) = Card(A) × Card(B)
III. p-liste
Une
p-liste (p-uplet) est un élément de E
p = E × E × … × E (p fois) — les éléments
peuvent se répéter et l'ordre compte.
Nombre de p-listes d'un ensemble à n éléments : np
Ex. nombres à 3 chiffres formés avec 6 chiffres → 6³ = 216.
IV. Arrangement et permutation
Arrangement de p éléments de E : p-uplet d'éléments
deux à deux distincts (ordre important,
sans répétition).
Anp = n × (n−1) × … × (n−p+1) = n!/(n−p)!
Factorielle : n! = n × (n−1) × … × 2 × 1 ; par convention
0! = 1.
Permutation : arrangement des
n éléments de E — leur nombre :
Ann = n!
Ex. 4 hôtes sur 4 fauteuils : 4! = 24 possibilités.
V. Combinaison
Une
combinaison de p éléments de E est un
sous-ensemble à p éléments —
l'ordre ne compte pas.
Cnp = Anp/p! = n!/(p!(n−p)!)
Remarques : C
nn = 1 ; C
n1 = n ; C
n0 = 1 ; C
np = C
nn−p.
| Situation | Ordre ? | Répétition ? | Formule |
|---|
| p-liste (codes, nombres) | Oui | Oui | np |
| Arrangement (classements, tirages ordonnés) | Oui | Non | n!/(n−p)! |
| Permutation (placer n objets) | Oui | Non | n! |
| Combinaison (comités, groupes) | Non | Non | n!/(p!(n−p)!) |
⚠️ Pièges fréquents :
- Question-clé : l'ordre compte-t-il ? Oui → p-liste/arrangement ; Non → combinaison ;
- Des répétitions sont-elles possibles ? Oui → np ; Non → arrangement ;
- Dans un couple (a, b) l'ordre est imposé ; dans une combinaison {a, b} = {b, a} ;
- n!/(n−p)! s'arrête au facteur (n−p+1) — ne pas descendre jusqu'à 1 ;
- Cnp compte les groupes, Anp les groupes ordonnés : Cnp = Anp/p!.
Créé par Haniel_dev