I. Polynôme du second degré
Toute expression de la forme ax² + bx + c avec a, b, c réels et a ≠ 0.
a = coefficient du terme de degré 2 ; b = degré 1 ; c = degré 0.
Exemple : 4x² (b = c = 0) et 3x² − 1 (b = 0, c = −1) sont des polynômes du second degré.
II. Équation du second degré : le discriminant
Équation :
ax² + bx + c = 0.
Discriminant : Δ = b² − 4ac
| Signe de Δ | Nombre de solutions | Solutions |
|---|
| Δ < 0 | Aucune dans ℝ | S = ∅ |
| Δ = 0 | Une (racine double) | x₀ = −b/2a |
| Δ > 0 | Deux distinctes | x₁ = (−b−√Δ)/2a ; x₂ = (−b+√Δ)/2a |
Les solutions s'appellent les
zéros ou
racines du polynôme.
III. Factorisation
- Δ < 0 : non factorisable dans ℝ ;
- Δ = 0 : P(x) = a(x − x₀)² ;
- Δ > 0 : P(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
Attention au coefficient a : −x² − 3x + 4 = −(x + 4)(x − 1).
IV. Signe du polynôme et inéquations
- Δ < 0 : P(x) est toujours du signe de a ;
- Δ = 0 : P(x) du signe de a pour tout x ≠ x₀ (et s'annule en x₀) ;
- Δ > 0 : P(x) du signe de a à l'extérieur des racines, du signe de −a entre les racines.
Méthode pour une inéquation P(x) ≷ 0 : étudier le signe de P(x) → repérer l'intervalle convenable → écrire S en intervalles (crochets ouverts si inégalité stricte, fermés si large).
Ex. −x² + x + 2 < 0 → S = ]−∞; −1[ ∪ ]2; +∞[.
V. Équations et inéquations rationnelles
Type (ax+b)/(cx+d) = 0 :
- Poser la contrainte : cx + d ≠ 0 ;
- Résoudre le numérateur ax + b = 0 ;
- Conserver la solution seulement si elle respecte la contrainte (sinon S = ∅).
Type (ax+b)/(cx+d) ≤ 0 ou ≥ 0 :
- Contrainte sur l'inconnue ;
- Tableau de signe croisant numérateur et dénominateur ;
- Lire l'intervalle — la valeur qui annule le dénominateur est toujours exclue (barre verticale dans le tableau).
Ex. (x−1)/(2x−1) ≤ 0 → S = ]1/2 ; 1].
⚠️ Pièges fréquents :
- Oublier la contrainte d'existence pour les fractions : une « solution » qui annule le dénominateur n'en est pas une ;
- Δ = b² − 4ac : attention aux signes de a et c (ex. c négatif → −4ac positif) ;
- Dans la formule, le dénominateur est 2a, pas 2 ;
- Inéquation stricte (<, >) → intervalles ouverts ; large (≤, ≥) → fermés (sauf valeur interdite) ;
- En situation concrète, écarter les solutions non conformes au contexte (ex. une longueur négative).
Créé par Haniel_dev