I. Équations du premier degré dans ℚ
Définition : a, b, c rationnels, a ≠ 0. Une égalité du type ax + b = c où x désigne un nombre rationnel est une équation d'inconnue x. ax + b est le premier membre, c le second membre. Tout rationnel qui rend l'égalité vraie est une solution. Résoudre = trouver toutes les solutions.
Vérifier une solution : −4 est solution de −2 + x = −6 car −2 + (−4) = −6. −2 n'est pas solution de 9x = −10 car 9 × (−2) = −18 ≠ −10.
Égalités et opérations
Propriété 1 : Si a = b alors a + c = b + c (on peut ajouter un même nombre aux deux membres).
Propriété 2 : Si a = b alors ka = kb, pour k rationnel non nul (on peut multiplier les deux membres par un même nombre non nul).
Résolution
L'équation a + x = b a pour unique solution x = b − a.
L'équation ax = b (a ≠ 0) a pour unique solution x = b/a.
Exemples :- x + 5 = 7 → x = 7 − 5 = 2 ; x + 12 = 1 → x = −11 ; −13 + x = 0 → x = 13
- 4x = 8 → x = 8/4 = 2 ; 4x = 2 → x = 1/2 ; −3x = 5 → x = −5/3
II. Inéquations du premier degré dans ℚ
Définition : Une inégalité du type ax + b > c ou ax + b < c (a ≠ 0) où x désigne un rationnel est une inéquation d'inconnue x. Une solution est tout rationnel qui rend l'inégalité vraie. Ex. : −2 est solution de 3x + 4 < 7 car 3 × (−2) + 4 = −2 < 7.
Inégalités et opérations
Propriété 1 (addition) : ajouter un même nombre conserve le sens — si a < b alors a + c < b + c ; si a > b alors a + c > b + c.
Propriété 2 (multiplication) : par k ≠ 0 —
• k > 0 → sens conservé : si a < b alors ka < kb.
• k < 0 → sens contraire : si a < b alors ka > kb.
Exemples : 4x < 13 → 8x < 26 (×2 positif) ; 5x < 7 → −15x > −21 (×−3 négatif → le sens change !).
Résolution
Méthodes :- Type x + a < b : on ajoute l'opposé de a aux deux membres → x < b − a.
- Type ax < b : on multiplie par l'inverse de a (attention au signe de a !) → x < b/a ou x > b/a.
Exemples :- x − 8 < 5 → x < 13 : tout nombre plus petit que 13 est solution.
- 4x > 8 → x > 8/4 → x > 2.
⚠️ Pièges classiques :- Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif change le sens de l'inégalité (< devient >).
- Une équation du 1ᵉʳ degré a une unique solution ; une inéquation en a une infinité (tous les nombres plus petits ou plus grands qu'une valeur).
- Toujours vérifier la solution trouvée en la remplaçant dans l'équation de départ.
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