I. Cercle et droite
1. Positions relatives d'une droite et d'un cercle
(C) cercle de centre O, rayon r ; (D) droite ; H le point de (D) tel que (OH) ⊥ (D) :- OH < r ⟺ (C) et (D) ont deux points communs → sécants
- OH = r ⟺ (C) et (D) ont un seul point commun → tangents
- OH > r ⟺ (C) et (D) n'ont aucun point commun → disjoints
Exemple : cercle de centre I, rayon 3 cm ; K ∈ (L) avec IK = 5 cm → IK > 3 donc (C) et (L) sont disjoints.
2. Tangente à un cercle
Définition : La tangente en H au cercle (C) est la droite passant par H et perpendiculaire au support du rayon [OH].
Construction des tangentes par un point extérieur A :- Placer I, milieu de [AO] ;
- Tracer le cercle (C′) de centre I et de rayon IA ;
- Placer T et T′, intersections de (C) et (C′) ;
- Tracer (AT) et (AT′) → ce sont les deux tangentes.
II. Triangles et droites — le théorème des milieux
Propriété 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au support du troisième côté. (droite des milieux)
Propriété 2 : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié du troisième côté : B′C′ = ½ BC.
Propriété 3 : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle au support d'un autre côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Exemple : ABC triangle, BC = 15 cm, D milieu de [AB], E milieu de [AC] → DE = ½ × 15 = 7,5 cm.
III. Droites remarquables et points remarquables du triangle
| Droites | Propriété | Point de concours |
|---|
| Hauteurs (perpendiculaires issues des sommets) | Les 3 hauteurs sont concourantes | Orthocentre |
| Médianes (joignent un sommet au milieu du côté opposé) | Les 3 médianes sont concourantes | Centre de gravité G : AG = ⅔ AA′ (aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet) |
| Bissectrices des angles | Les 3 bissectrices sont concourantes | Centre du cercle inscrit (cercle intérieur tangent aux supports des 3 côtés) |
Remarque : chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
⚠️ Pièges classiques :- La position cercle-droite se décide en comparant OH (distance du centre à la droite) au rayon r — pas avec le diamètre.
- La tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, pas à n'importe quel rayon.
- Ne pas confondre orthocentre (hauteurs), centre de gravité (médianes) et centre du cercle inscrit (bissectrices).
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