I. Expressions littérales
Définition : Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Ex. : 2a ; a − 5b ; 2πr ; 3x + 4.
Valeur numérique : on remplace chaque lettre par le nombre donné. Ex. : A = 3x + 4 → pour x = 5 : A = 3 × 5 + 4 = 19. E = a − 5b → pour a = 7, b = 1 : E = 7 − 5 = 2.
Règle d'écriture : dans un produit, on n'écrit pas « × » devant une lettre ou une parenthèse ouvrante : 2x (et non 2 × x), ab, 2(x − 7), 9(12 + p)(x − 7). On écrit 2x et non x2 ; 2(x + 3) et non (x + 3)2 ; 2 × (−9) et non 2 × −9.
Suppression de parenthèses
Règle 1 : parenthèse précédée de « + » (ou sans signe) → on supprime sans rien changer : (−7 + a) + (b − 3 + c) = −7 + a + b − 3 + c.
Règle 2 : parenthèse précédée de « − » → on supprime en changeant le signe de chaque terme : a − (b − 3 + c) = a − b + 3 − c ; x − (3a − b) − (−m + t − y) = x − 3a + b + m − t + y.
Priorités : ① calculs entre parenthèses → ② puissances → ③ multiplications et divisions → ④ additions et soustractions.
Ex. : A = 7 × 3² − 2 × (5 + 1/2) + 4 = 7 × 9 − 2 × 11/2 + 4 = 63 − 11 + 4 = 56.
II. Développement et réduction d'un produit
Définition : Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme.
a(x + y) = ax + ay • a(x − y) = ax − ay
(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by
Exemples :- 5(x + 7) = 5x + 35 ; −2,5(x − 4) = −2,5x + 10 ; 6(−10 − 2x) = −60 − 12x
- (x + 5)(y + 3) = xy + 3x + 5y + 15
- (x + 2)(y − 3) = xy − 3x + 2y − 6 ; (3x + 2)(2y − 1) = 6xy − 3x + 4y − 2
Produits remarquables
(a + b)² = a² + 2ab + b² • (a − b)² = a² − 2ab + b² • (a + b)(a − b) = a² − b²
Exemples : (a + 7)² = a² + 14a + 49 ; (a − 3)² = a² − 6a + 9 ; (a + 8)(a − 8) = a² − 64.
III. Factorisation
Définition : Factoriser une somme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs.
1. Par mise en évidence d'un facteur commun
Exemples :- A = 3x + 3 = 3x + 3 × 1 = 3(x + 1)
- B = 12x² − 18x = 6x × 2x − 6x × 3 = 6x(2x − 3)
- P = 10 − 5a = 5(2 − a) ; S = −x² + 2x = x(−x + 2)
- R = 2x(y − 1) + (y − 1) = 2x(y − 1) + 1 × (y − 1) = (y − 1)(2x + 1) — le facteur commun peut être une parenthèse !
2. Par produits remarquables
Exemples :- x² + 6x + 9 = x² + 2 × x × 3 + 3² = (x + 3)²
- x² − 10x + 25 = (x − 5)² ; x² + 14x + 49 = (x + 7)²
- x² − 121 = x² − 11² = (x − 11)(x + 11) ; a² − 16 = (a + 4)(a − 4)
⚠️ Pièges classiques :- Devant « − », changer tous les signes dans la parenthèse : x − (3a − b) = x − 3a + b (et non x − 3a − b).
- (a + b)² ≠ a² + b² — il manque le double produit 2ab.
- Pour factoriser, chercher d'abord un facteur commun, sinon un produit remarquable.
Créé par Haniel_dev