I. Distance d'un point à une droite
Définition : (D) est une droite et K un point n'appartenant pas à (D). Si M est le point d'intersection de (D) et de la perpendiculaire à (D) passant par K, alors KM est la distance du point K à la droite (D).
Remarques :- KM est le plus court chemin : pour tout point G de (D) distinct de M, KM < KG.
- Si G ∈ (D), la distance de G à (D) est nulle.
Méthode : ① tracer la perpendiculaire à (L) passant par A ; ② noter H son intersection avec (L) ; ③ mesurer [AH]. La distance de A à (L) est AH.
II. Distance de deux droites parallèles
Définition : (L) et (D) sont deux droites parallèles. A ∈ (L) et B ∈ (D) tels que (AB) ⊥ (L). Alors AB est la distance des droites parallèles (L) et (D).
Exemple : (D) // (Δ), A ∈ (D), B ∈ (Δ), (AB) ⊥ (Δ), AB = 2,6 cm → la distance entre (D) et (Δ) est 2,6 cm. La distance est la même quel que soit le point choisi : c'est une propriété des droites parallèles.
III. Caractérisation de la bissectrice d'un angle
Propriété 1 : Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des supports des côtés de cet angle.
Propriété 2 (réciproque) : Si un point est équidistant des supports des côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
Conséquence majeure (triangle) : Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes ; leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle (cercle tangent aux trois côtés).
IV. Application type : cercle inscrit et aire
Exercice corrigé : Triangle ABC (AB = 24 m, AC = 20 m, BC = 16 m), cercle inscrit de centre O et de rayon r.
- O est équidistant des trois côtés → O appartient aux bissectrices → on construit O en traçant deux bissectrices.
- Aire(AOB) = AB × r/2 = 12r ; Aire(AOC) = AC × r/2 = 10r ; Aire(BOC) = BC × r/2 = 8r.
- Aire totale ABC = 12r + 10r + 8r = 30r.
⚠️ Pièges classiques :- La distance point-droite se mesure perpendiculairement, jamais en oblique.
- « Équidistant des supports des côtés » = distances aux droites portant les côtés (perpendiculaires).
- Pour justifier qu'un point est sur une bissectrice, il faut l'égalité des deux distances (réciproque), pas seulement la figure.
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