I. PPCM et PGCD de deux entiers naturels
PPCM(a ; b) = plus petit entier naturel non nul multiple à la fois de a et de b. Ex. : PPCM(10 ; 15) = 30.
PGCD(a ; b) = plus grand entier naturel diviseur à la fois de a et de b. Ex. : PGCD(18 ; 12) = 6.
Méthode par décomposition en facteurs premiers :- PPCM = produit de tous les facteurs apparus, chacun pris une fois avec son plus grand exposant.
Ex. : 360 = 2³ × 3² × 5 et 700 = 2² × 5² × 7 → PPCM = 2³ × 3² × 5² × 7 = 12 600. - PGCD = produit des facteurs communs aux deux décompositions, chacun pris une fois avec son plus petit exposant.
Ex. : PGCD(360 ; 700) = 2² × 5 = 20.
⚠️ Piège : Pour le PPCM on prend tous les facteurs (même non communs) au plus grand exposant ; pour le PGCD seulement les facteurs communs au plus petit exposant. Ne pas intervertir !
II. Nombres rationnels
Définition : Un nombre rationnel est un nombre égal à une fraction ou à l'opposé d'une fraction. L'ensemble des rationnels est noté ℚ. Tout rationnel s'écrit a/b avec a, b entiers relatifs et b ≠ 0. Tout nombre décimal est rationnel.
Signes : −a/b = a/−b = −(a/b) et −7/−2 = 7/2. Exemples de rationnels : 0 ; 2 ; −3 ; 4,75 ; −0,023 ; 7/2 ; −9/5.
III. Opérations sur les rationnels
1. Produit
(a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d) (b ≠ 0, d ≠ 0)
Exemples : (−9/5) × (4/7) = −36/35 ; (−4/3) × (7/−5) = 28/15 ; 3 × (8/11) = 24/11.
2. Inverse
Définition : L'inverse du rationnel a/b (a, b non nuls) est b/a. On a (a/b) × (b/a) = 1. 0 n'a pas d'inverse.
3. Quotient
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) — diviser par un rationnel = multiplier par son inverse (b, c, d ≠ 0)
Exemples : (−9/5) ÷ (4/7) = (−9/5) × (7/4) = −63/20 ; (3/11) ÷ (41/8) = 24/451 ; 7 ÷ (3/4) = 7 × (4/3) = 28/3.
IV. Approximation décimale, arrondi, troncature
Approximation décimale : Si 1,85 < 13/7 < 1,86 alors 1,85 est l'approximation par défaut d'ordre 2 et 1,86 l'approximation par excès d'ordre 2.
Arrondi d'ordre n de a/b :- On calcule le quotient avec n + 1 chiffres après la virgule.
- Si le (n+1)ᵉ chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4 → arrondi = approximation par défaut.
- Si le (n+1)ᵉ chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9 → arrondi = approximation par excès.
- Ex. : 18/7 ≈ 2,5714285 → arrondi d'ordre 5 = 2,57143 (6ᵉ chiffre = 8).
Troncature : la troncature à n décimales de x est le décimal d'ordre n obtenu en ne gardant que les n premiers chiffres après la virgule. Ex. : troncature à 5 décimales de 18/7 = 2,57142 ; troncature à 3 décimales de 23/13 ≈ 1,769.
⚠️ Piège : L'arrondi regarde le chiffre suivant (par défaut ou par excès) ; la troncature coupe sans rien regarder. Ne pas les confondre : arrondi d'ordre 3 de 26,453731 = 26,454 alors que sa troncature à 3 décimales = 26,453.
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