I. Angles alternes-internes
Définition : Quand une droite (L) est sécante à deux droites (D1) et (D2) en A et B, certains couples d'angles situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites, sont dits alternes-internes.
Propriété 1 : Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure.
Propriété 2 (réciproque) : Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Emploi :- Parallèles + sécante → angles alternes-internes égaux (justifier une égalité d'angles).
- Angles alternes-internes égaux → droites parallèles (justifier un parallélisme).
II. Angles correspondants
Définition : Quand une droite (L) est sécante à (D1) et (D2) en E et S, les couples d'angles situés du même côté de la sécante et dans la même position par rapport aux deux droites sont dits correspondants (4 paires).
Propriété 1 : Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure.
Propriété 2 (réciproque) : Si deux droites forment avec une sécante deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
III. Angle au centre et arcs de cercle
Définition : Un angle au centre d'un cercle est tout angle dont le sommet est le centre du cercle. Un angle au centre AOB intercepte l'arc AB (le plus court des deux arcs déterminés par A et B, si [AB] n'est pas un diamètre).
Arcs : Deux points A et B d'un cercle déterminent deux arcs : le plus court (noté AB) et le plus long (noté AB̆).
Longueur d'un arc : Longueur AB = (π × r × mes AOB) / 180° — la longueur d'un arc est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte.
Exemple : cercle de rayon r = 2 cm, mes AOB = 60° → Longueur AB = (π × 2 × 60)/180 = 2π/3 cm ≈ 2,09 cm.
Propriété 1 : Si deux angles au centre ont la même mesure → ils interceptent des arcs de même longueur.
Propriété 2 (réciproque) : Si deux arcs ont la même longueur → ils sont interceptés par des angles au centre de même mesure.
IV. Cordes et arcs de cercle
Définition : Une corde d'un cercle est un segment dont les deux extrémités sont des points du cercle. La corde [AB] sous-tend les arcs d'extrémités A et B.
Propriété 1 : Deux arcs de même longueur → les cordes qui les sous-tendent ont la même longueur.
Propriété 2 (réciproque) : Deux cordes de même longueur → elles sous-tendent des arcs de même longueur.
⚠️ Pièges classiques :- Ne pas confondre alternes-internes (en « Z », entre les deux droites) et correspondants (en « F », même position).
- Les propriétés d'égalité d'angles exigent que les droites soient parallèles — la justifier ou la donner en hypothèse avant de conclure.
- L'angle au centre a son sommet au centre du cercle, pas n'importe où sur le cercle.
Créé par Haniel_dev