I. Puissances de 10 d'exposants entiers relatifs
Définition : Soit n un entier positif non nul. 10n = 1 suivi de n zéros ; 10−n = 0,0…01 avec (n−1) zéros après la virgule avant le 1. On a aussi : 100 = 1 et 10−n = 1/10n.
Exemples :- 104 = 10 000 ; 106 = 1 000 000
- 10−3 = 0,001 ; 10−8 = 0,00000001
Propriétés (m, n entiers relatifs) : 10m × 10n = 10m+n • (10m)n = 10m×n • 10m/10n = 10m−n
Exemples : 105 × 102 = 107 ; 10−12 × 1012 = 100 = 1 ; 102/107 = 10−5 ; (103)5 = 1015 ; (10−2)−5 = 1010.
II. Produit de nombres écrits sous la forme d × 10p
(a × 10p) × (b × 10q) = (a × b) × 10p+q
Exemples :- (3 × 106) × (10 × 106) = 30 × 1012
- (−7,5 × 10−9) × (2 × 1010) = −15 × 10
- (−5 × 107) × (−12,4 × 10−9) = 62 × 10−2
III. Notation scientifique d'un nombre décimal
Définition : La notation scientifique d'un nombre décimal est son écriture sous la forme a × 10p où a est un décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et p un entier relatif.
Exemples :- 12 000 = 1,2 × 104
- 0,5689 = 5,689 × 10−1
- −681,204 = −6,81204 × 102
- 7 438 = 7,438 × 103 ; 0,0673 = 6,73 × 10−2
⚠️ Piège : 83 × 10−3, −0,4 × 10−24 ou −4900 × 10−2 ne sont pas des notations scientifiques : le facteur décimal doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule (entre 1 et 9, ou −1 et −9).
IV. Comparaison de nombres écrits sous la forme d × 10p
Méthode : on écrit chaque nombre en notation scientifique A = a × 10
m et B = b × 10
n.
- Si m = n : A et B sont rangés dans le même ordre que a et b.
- Si m ≠ n : A et B sont rangés dans le même ordre que m et n.
- Si A et B sont négatifs : on compare −A et −B, puis on inverse l'ordre.
Exemples :- 64,92 × 10−4 = 6,492 × 10−3 et 897 × 10−5 = 8,97 × 10−3 ; 6,492 < 8,97 donc 64,92 × 10−4 < 897 × 10−5.
- 1,492 × 10−4 < 8,97 × 10−3 car −4 < −3.
- −7,15 × 10−2 < −3,6 × 10−4 car 7,15 × 10−2 > 3,6 × 10−4.
V. Nombre décimal d'ordre n
Définition : Un nombre décimal d'ordre n est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d × 10−n, où d est un entier relatif et n un entier naturel.
Exemples :- 52,658 = 52 658 × 10−3 → ordre 3
- −0,000054 = −54 × 10−6 → ordre 6
- 45,7 = 457 × 10−1 → ordre 1 ; 4,0057 = 40 057 × 10−4 → ordre 4
Remarques :- Un décimal écrit avec n chiffres après la virgule est d'ordre n.
- Un décimal d'ordre n est aussi d'ordre supérieur à n (56,789 est d'ordre 3, 4, 5…).
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